共分散の求め方を完全解説！公式の意味からエクセル計算まで徹底網羅

データ分析や統計学の学習を進める中で、多くの人が最初に突き当たる壁の一つが「共分散（きょうぶんさん）」の計算です。教科書を開くと難解な数式記号が並び、結局何を表しているのかイメージが湧かないまま挫折してしまうケースは少なくありません。

共分散は、2つのデータの相関関係や連動性を把握するための土台となる極めて重要な指標です。本稿では、数式の意味から具体的な手計算のステップ、エクセルでの瞬時算出テクニック、さらには相関係数との違いまで、現場目線で分かりやすく紐解いていきます。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 要点1：共分散は「2つの変数がどれだけ連動して動くか（正・負の向き）」を示す基本指標である
• 要点2：手計算は「平均の算出 ➔ 偏差の計算 ➔ 偏差の積 ➔ 平均」の4ステップで誰でも迷わず求められる
• 要点3：エクセルでは標本共分散（COVARIANCE.P）と不偏共分散（COVARIANCE.S）の使い分けが必須となる

【基礎から納得】共分散の公式をわかりやすく解説｜分散との決定的な違いとは

共分散の理解を深める第一歩は、統計の基本である「分散」との違いを整理することです。分散と共分散の違いは、着目しているデータの次元数にあります。分散が「1つのデータ群が平均値からどれくらい散らばっているか」を測るのに対し、共分散は「2つの異なるデータ群（変数Xと変数Y）が互いにどう影響し合って散らばっているか」を測る指標です。

共分散の数学的な公式は以下の通り定義されます。

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

この数式を一言で言語化すると、「Xの偏差（データ値 − 平均値）とYの偏差（データ値 − 平均値）を掛け合わせたものの平均値」です。共分散の意味と性質を読み解くポイントは、2つの偏差の掛け算（偏差の積）にあります。

Xが平均より大きく（プラス）、同時にYも平均より大きい（プラス）場合、その積はプラスになります。逆に、Xが平均より小さく（マイナス）、Yも平均より小さい（マイナス）場合も、マイナス同士の掛け算で積はプラスになります。つまり、2つのデータが同じ方向に動く傾向が強ければ共分散は正（プラス）の値をとります。一方で、片方が増えるともう片方が減る逆の動きをする場合は積がマイナスになり、共分散は負の値をとるという仕組みです。

【具体例で学ぶ】共分散の手計算手順｜5つのステップと計算例題

数式だけでは抽象的になりがちなため、具体的な数値を使った共分散の手計算手順を確認していきましょう。ここでは、5人の生徒における「数学の勉強時間（時間）」と「テストの点数（点）」という2つの変数データを例題として計算します。

【計算例題データ】
生徒A：勉強時間 2時間 / 点数 40点
生徒B：勉強時間 4時間 / 点数 60点
生徒C：勉強時間 5時間 / 点数 50点
生徒D：勉強時間 7時間 / 点数 70点
生徒E：勉強時間 7時間 / 点数 80点

手計算は、以下の手順に沿って表を作成しながら進めると計算ミスを防げます。

ステップ1：それぞれの平均値を求める
・勉強時間 $X$ の平均：$(2 + 4 + 5 + 7 + 7) \div 5 = 5.0$ 時間
・テスト点数 $Y$ の平均：$(40 + 60 + 50 + 70 + 80) \div 5 = 60.0$ 点

ステップ2：各データの偏差（値 − 平均）を算出する
・生徒A：$X$の偏差 $-3$ / $Y$の偏差 $-20$
・生徒B：$X$の偏差 $-1$ / $Y$の偏差 $0$
・生徒C：$X$の偏差 $0$ / $Y$の偏差 $-10$
・生徒D：$X$の偏差 $+2$ / $Y$の偏差 $+10$
・生徒E：$X$の偏差 $+2$ / $Y$の偏差 $+20$

ステップ3：偏差同士の積（Xの偏差 × Yの偏差）を計算する
・生徒A：$(-3) \times (-20) = +60$
・生徒B：$(-1) \times 0 = 0$
・生徒C：$0 \times (-10) = 0$
・生徒D：$(+2) \times (+10) = +20$
・生徒E：$(+2) \times (+20) = +40$

ステップ4：偏差の積の合計を求める
合計：$60 + 0 + 0 + 20 + 40 = 120$

ステップ5：データの個数（n=5）で割って平均を出す
共分散：$120 \div 5 = 24$

この結果、勉強時間とテスト点数の共分散は「24」と求まりました。値が正であることから、勉強時間が増えるほど点数も高くなる「正の関連性」が存在することが数値として確認できます。

【徹底比較】共分散と相関係数の違い｜単位の影響と負の値が出る理由

実務や試験で頻出するのが「共分散と相関係数は何が違うのか」という論点です。結論から言うと、共分散は「単位の影響」を直接受けてしまうため、関係の強弱を比較できません。その弱点を克服し、−1から＋1の範囲に標準化した指標が「相関係数（ピアソンの積率相関係数）」です。

例えば、先ほどの例題で「勉強時間（時間）」を「勉強時間（分）」に単位換算すると、値が60倍になるため共分散は $24 \times 60 = 1440$ に跳ね上がってしまいます。関係性そのものは変わっていないのに数値だけが膨らんでしまうのが、共分散の最大の注意点です。

また、共分散で負の値が出る理由は、一方が増える際にもう一方が減るという「負の相関（逆相関）」が生じているためです。例えば「気温と温かいスープの売上」のように、片方の偏差が正（気温が高い）のときにもう片方の偏差が負（売上が低い）となれば、偏差の積の平均はマイナスになります。

【実務直結】エクセルでの共分散の計算方法｜関数と使い分けの鉄則

実務の現場で数百〜数千件のデータを扱う場合、エクセル関数を活用した瞬時の算出が基本です。エクセルには共分散を計算する関数が主に2種類用意されており、分析目的に応じた使い分けが求められます。

1. COVARIANCE.S 関数（不偏共分散を求める場合）
手元のデータが全体から抽出したサンプル（標本）であり、母集団の共分散を推計したい場合は =COVARIANCE.S(配列1, 配列2) を使用します。計算時にデータの個数 $n$ ではなく自由度 $n-1$ で除算するため、推計値の偏り（バイアス）を補正できます。

2. COVARIANCE.P 関数（標本共分散を求める場合）
手元のデータそのものが全数データ（母集団全体）である場合は =COVARIANCE.P(配列1, 配列2) を使用します。こちらは純粋にデータ個数 $n$ で割る計算式となります。

標本共分散と不偏共分散の違いを理解せずに適当な関数を選ぶと、特にデータ数が少ないケースで算出結果に無視できないズレが生じます。アンケート調査のサンプリング分析や市場リサーチの実務では、統計的な偏りを防ぐためにCOVARIANCE.S 関数を使うのが標準的な運用ルールです。

【実態検証】データ分析現場で多発する誤解と共分散行列の求め方

実務や機械学習の初期段階でよく見られる重大な誤解が、「共分散の値が大きい＝強い因果関係がある」と短絡的に結論づけてしまうミスです。

現場検証でも明らかになっている通り、共分散はあくまで「直線的な連動の向き」を示す指標に過ぎず、因果関係を証明するものではありません。また、3つ以上の多変量データを扱うデータサイエンスやポートフォリオ最適化の実務では、変数同士の共分散を網羅的に並べた「共分散行列」の構築が必須となります。

共分散行列の求め方は、行と列に変数を並べ、対角成分に各変数の「分散」、非対角成分に異なる変数間の「共分散」を配置する構造です。対称行列となる性質を持ち、主成分分析（PCA）やリスク分散投資の数理モデル構築において極めて重要な土台として機能しています。

【プロの結論】共分散を使いこなす判断基準｜活用すべき場面と注意点

共分散を適切に実務や研究へ取り入れるための判断基準を整理しました。データの性質と分析目的に応じて使い分けを行ってください。

共分散の活用が推奨されるシチュエーション：
・ファイナンスにおける複数資産の分散投資効果（ポートフォリオのリスク低減）を数理的に計算したいとき
・相関係数や主成分分析（PCA）、多変量正規分布モデルの中間計算ステップとして共分散行列を作成するとき
・2変数の連動方向（正・負）のみを素早くスクリーニングしたいとき

共分散単体での評価を避けるべきシチュエーション：
・異なる単位を持つデータ間（例：「年収（万円）と身長（cm）」対「年収（万円）と体重（kg）」）で相関の強さを直接比較したいとき ➔ 相関係数を使用すべき
・非線形な関係（U字カーブなど）を持つデータを評価したいとき ➔ 散布図の目視確認や非線形モデルを使用すべき

【共 分散 求め 方】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：共分散が「0」になった場合、2つのデータには何の関係もないということですか？
A1：共分散が0であることは「直線的な相関関係（線形関係）がない」ことを意味しますが、完全な無関係とは限りません。例えば、二次関数のような放物線を描く関係（U字型の関連）がある場合、強い関係性があっても共分散や相関係数が0になるケースがあります。必ず散布図を描いてデータの形状を確認することが重要です。

Q2：手計算の検定試験などで計算を素早く行うコツはありますか？
A2：共分散のもう一つの公式である「（XとYの積の平均）−（Xの平均 × Yの平均）」を活用するのが有効です。偏差を1行ずつ引き算する手間が省けるため、手計算のステップ数を大幅に減らし、計算ミスを防止できます。

Q3：エクセルの旧関数「COVAR」は使っても問題ありませんか？
A3：COVAR関数はExcel 2010以前の互換性用関数であり、標本共分散（COVARIANCE.Pと同じ計算）を行います。現在のバージョンでは計算意図を明確にするため、母集団なら「COVARIANCE.P」、標本抽出なら「COVARIANCE.S」を使用することが公式に推奨されています。

まとめ：共分散の本質を掴んでデータ分析を次のステージへ

共分散は一見すると複雑な数式に見えますが、本質は「2つの変数の偏差を掛け合わせた平均値」というシンプルな構造に集約されます。

単体では単位の影響を受けるため相関の強弱比較には不向きですが、相関係数の算出や多変量解析、共分散行列の構築など、より高度なデータ分析において不可欠な基礎概念です。手計算の流れとエクセル関数の使い分けをマスターし、日々のデータ分析や業務改善に役立ててください。 （出典: 共 分散 求め 方（Yahoo!ニュース））